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Fenômenos de Transferência - Metalmat - UFRJ

XI Coloquio Venezolano de Polímeros - rlmmorg

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Description

Departamento/Programa de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Materiais – Escola Politécnica/COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro

Fenômenos de Transferência Com Aplicações às Ciências Físicas e à Engenharia

Volume 1: Fundamentos

José da Rocha Miranda Pontes Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ Norberto Mangiavacchi Universidade do Estado do Rio de Janeiro – UERJ

Março 2013

Fenômenos de Transferência com Aplicações às Ciências Físicas e à Engenharia José da Rocha Miranda Pontes Norberto Mangiavacchi Maio 2010 Cadastrado no Registro de Direitos Autorais da Fundação Biblioteca Nacional sob o número 351717,

À memória de Júlia Adriana da Rocha Miranda

Sumário Prefácio

Fundamentos

Objetivos .

Princípios de Conservação e Equações Constitutivas .

Operador Derivada Substancial .

Desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos .

Problemas .

Equação da Continuidade .

Problemas .

Introdução .

Equação de Conservação da Quantidade de Movimento .

Equação de Euler .

Simetria do Tensor de Tensões .

Fluidos Newtonianos .

O Caso de Sólidos .

Equação de Navier-Stokes .

Os Números de Reynolds e de Froude .

Equação de Bernoulli .

Introdução .

Equação da Energia Cinética (v 2 /2) .

Equação da Energia Total (e + v 2 /2) .

Equação da Energia Interna (e) .

Função Dissipação (Φ) .

Equação da Entalpia de Estagnação (h0 = h + v 2 /2) .

Equação da Entalpia (h) .

Nota Sobre a Forma Integral das Equações da Entalpia .

Equação da Entropia (s) .

Introdução .

Escoamento de Stokes em Torno de uma Esfera sob Re < 1 .

Escoamento Sobre uma Placa Plana Inclinada .

Escoamento de Couette .

Escoamento Entre Duas Placas Paralelas Imóveis .

Escoamento Entre Duas Placas Paralelas sob Fluxo de Calor Constante .

Problema de Rayleigh .

Transferência de Calor por Convecção e Evaporação .

Escoamento Sobre um Disco Rotatório .

131 iv

Introdução .

Escoamento Quase-unidimensional .

Ondas Fracas: Velocidade do Som .

Ondas Fortes: Compressão por Choque .

Analogia com a Hidráulica de Canal Aberto .

Problemas .

Introdução .

As Equações de Prandtl .

A Equação de Blasius .

A Equação de Falkner-Skan .

Métodos Integrais na Teoria da Camada Limite Laminar .

Estabilidade de Camadas Limite – A Equação de Orr-Sommerfeld .

Problemas .

Introdução .

Escoamentos Potenciais Compressíveis .

Uma Classificação das Equações a Derivadas Parciais .

Considerações sobre o Escoamento Não Viscoso em Torno de um Aerofólio .

Escoamentos Potenciais Incompressíveis Bi-dimensionais .

O Teorema de Kutta-Joukowski .

Transformações Conformes .

A Transformação de Kutta-Joukowski .

A Hipótese de Kutta .

244 v

Introdução .

Descrição da Turbulência .

As Equações de Reynolds .

Modelos para o Tensor de Reynolds .

Apêndices

A Elementos de Análise Dimensional

A.1 Séries Completas de Produtos Adimensionais .

B.1 Introdução .

B.3 Notação de Índices (Notação Tensorial Cartesiana) .

341 vi

C.1 Introdução .

Prefácio Este livro destina-se a estudantes em nível de graduação e de pós-graduação em ciências físicas,

engenharia e ao público em geral,

com interesse na área de Fenômenos de Transferência.

O livro está dividido em dois volumes.

O primeiro volume aborda os fundamentos da disciplina.

O material nele incluído ultrapassa a quantidade normalmente incluída em um primeiro curso introdutório de um semestre,

o que permite a quem o utilize como texto de referência,

selecionar os tópicos segundo a própria conveniência.

Esse volume se origina das notas de aulas ministradas pelos autores em cursos de engenharia na Universidade Federal do Rio de Janeiro e na Universidade do Estado do Rio de Janeiro sobre os fundamentos da disciplina.

Além incluir a maior parte do material coberto normalmente em cursos introdutórios de Mecânica dos Fluidos,

quer em nível de graduação,

engloba também parte do que é normalmente ministrado a respeito de condução de calor em sólidos e de convecção,

em um primeiro curso sobre o assunto.

Há algum material sobre transferência de massa e evaporação.

Trata-se portanto,

apresentado segundo nosso ponto de vista sobre como abordar os princípios de Fenômenos de Transferência.

Entendemos,

que o tratamento deve enfatizar os fundamentos teóricos,

sem os quais não se avança de forma segura nas aplicações.

Dentro dessa linha,

servem para ilustrar o enfoque teórico que buscamos e para quebrar o ritmo de apresentação que imprimimos em sala de aula.

Estabelecido esse primeiro objetivo,

entendemos que devemos iniciar expondo os fundamentos da disciplina,

que são as equações de evolução resultantes da aplicação aos meios contínuos,

dos princípios de conservação da massa,

da quantidade de movimento e da energia.

Assim,

nossa exposição não se inicia por situações mais simples,

como pelo equacionamento e pela resolução de problemas da hidrostática,

de problemas em que os efeitos viscosos são desprezados.

Ao contrário,

abordar as soluções clássicas e os exemplos.

Vemos vantagens em apresentar o princípio de conservação da energia logo após fazêlo com os da massa e da quantidade de movimento: ganha-se tempo,

pois o método de equacionamento é o mesmo utilizado com os dois outros princípios e está bem presente na mente dos alunos.

Além disso,

dá-se aos alunos,

uma visão razoavelmente completa das equações e o tempo necessário,

até o fim de um semestre de curso,

para que possam assimilá-las e para que ganhem a familiaridade necessária com o significado de seus termos.

Esse conhecimento permite que a escolha dos problemas que serão abordados a partir de então,

Nossa experiência mostra a necessidade de iniciarmos o primeiro curso de Fenômenos de Transferência revendo os princípios do cálculo vetorial.

Para a consecução desse objetivo,

incluímos um apêndice sobre o assunto.

Esse apêndice inclui algumas questões nem sempre tratadas nas cadeiras introdutórias de cálculo vetorial e aborda,

a notação tensorial cartesiana,

que utilizamos e recomendamos,

mesmo em nível de cursos de graduação.

Não vemos maiores dificuldades em levar os alunos a compreenderem e manipularem os índices da notação.

As equações tornam-se concisas e as regras sobre como escrever explicitamente todos os termos das mesmas estão na própria notação,

o que não ocorre quando escritas em forma vetorial.

Não é necessário contornar questões como o fato do gradiente de um vetor ser um tensor de segunda ordem.

embora consiga-se equacionar os princípios de conservação da massa e da quantidade de movimento e expô-los utilizandose a notação vetorial,

entendemos que é muito difícil prosseguir e apresentar as equações de energia usando essa notação.

Ao contrário,

ao usarmos a notação tensorial cartesiana,

não temos dificuldades,

com o problema da dupla contração que ocorre no termo de dissipação viscosa dessas equações.

O formalismo da notação é discutido no apêndice B.

O princípio de conservação da massa é introduzido no capítulo 2,

com a notação vetorial mas as equações obtidas são apresentadas logo a seguir,

Já a partir do equacionamento do princípio de conservação da quantidade de movimento,

adotamos a notação tensorial cartesiana desde o início.

Assim,

parte do apêndice B é pré-requisito para o estudo do material apresentado a partir do capítulo 3,

para leitores que não tenham familiaridade com a notação e com o significado de alguns operadores que intervêm nas equações deduzidas desse ponto em diante.

Não obstante,

a notação vetorial tem sua utilidade,

uma interpretação mais fácil dos termos das equações.

as deduções se tornam mais intuitivas quando se usa a notação vetorial.

Assim,

damos preferência ao uso da notação tensorial a partir do capítulo que trata da conservação da quantidade de movimento,

mas voltamos à vetorial sempre que seu uso simplifica a exposição e clareza das deduções.

Tomamos a liberdade de citar,

dentre os partidários dessa abordagem,

Jacek Piotr Gorecki,

um dos responsáveis pela implantação das cadeiras de aerodinâmica,

ministradas no Instituto Tecnológico de Aeronáutica e de quem um dos autores (JP) teve o privilégio de ter sido aluno.

Uma vez apresentadas as equações que resultam da aplicação dos princípios de conservação passamos às aplicações e nos defrontamos com a necessidade de escolher os problemas dos quais tratar.

Optamos em abordar duas classes de problemas: de um lado,

em que abordamos parte das soluções clássicas,

que têm solução analítica.

Há problemas que são estudados em coordenadas cartesianas e outros,

No primeiro caso,

resolvemos não apenas o campo hidrodinâmico,

mas também o campo de temperaturas,

incluindo efeitos do aquecimento viscoso.

Ganha-se tempo,

resolvendo-se os problemas hidrodinâmico e térmico simultaneamente e o benefício de apontarmos as analogias,

que facilitam a compreensão de ambos.

Sempre que possível,

procuramos mostrar as similaridades e analogias entre os problemas relativos à mecânica dos fluidos e os de transferência de calor e de massa.

Como exemplo de situação em que lançamos mão dessas analogias citamos o uso dos resultados do problema do escoamento sobre uma placa plana alinhada ao fluxo,

para justificar a forma das correlações empíricas largamente utilizadas em engenharia,

para a resolução de problemas de convecção e evaporação forçadas.

Mas não apresentamos nenhuma dedução sobre transformação das equações,

que são sempre obtidas em coordenadas cartesianas,

para coordenadas cilíndricas,

Entendemos que,

para fazê-lo deve-se usar a notação dos tensores não-cartesianos,

que não abordamos nesse texto.

Assim,

apresentamos apenas parte das equações,

reescritas em coordenadas cilíndricas e,

A segunda classe de problemas abordados são os compreendidos no caso diametralmente oposto ao dos escoamentos viscosos,

que é o dos escoamentos compressíveis,

fora de camadas limite e de esteiras.

Nessas regiões,

não é necessário que se leve em conta os efeitos viscosos.

Procuramos ressaltar a analogia entre os fenômenos que ocorrem nos escoamentos de alta velocidade e os que se observam na hidráulica de canal aberto.

Acreditamos que os paralelos que fazemos sirvam para ajudar na compreensão do que ocorre nos dois casos.

A abordagem não é completa no estágio em que se encontra atualmente o texto,

a dos problemas de condução de calor em sólidos.

O primeiro volume compreende ainda,

capítulos introdutórios sobre as teorias da camada limite,

turbulência e escoamentos potenciais,

Compreende ainda quatro apêndices que contém os princípios de análise dimensional,

da análise complexa e da termodinâmica clássica.

O segundo volume aborda tópicos orientados a estudantes de graduação em nível mais avançado e a estudantes de cursos de pós-graduação.

A maior parte do material é nova e sintetiza resultados e aspectos ainda em desenvolvimento dentro de nossas linhas de pesquisa.

Há algum material bem conhecido,

mas que incluímos de modo a dar ao leitor uma visão ampla do problema Temos a agradecer a várias pessoas,

que permitiram que o texto chegasse até esse ponto: Ao Departamento/Programa de Pós-graduação em Engenharia Metalúrgica e de Materiais da Universidade Federal do Rio de Janeiro,

onde a maior parte desse trabalho foi escrito.

Ao professor Luiz M.

Portela,

pela cessão de alguns problemas propostos no Cap.

Ao prof.

Su Jian,

do Programa de Engenharia Nuclear da COPPE/UFRJ,

pelo interesse com que acompanhou,

o desenvolvimento do trabalho.

Aos profs.

Ebert Einstein N.

Macau (INPE),

à prof.a Rosana Sueli da Motta Jafelice,

da Universidade Federal de Uberlândia e em especial ao prof.

José Alberto Cuminato,

do Instituto de Ciências Matemáticas e da Computação – ICMC/USP – S.

Carlos,

pela orientação na escolha da SBM – Sociedade Brasileira de Matemática,

como a editora à qual submetemos o trabalho para publicação.

A nossos alunos,

sugestões e por apontarem várias vezes,

Citamos em particular os nomes de Wagner Ferreira Lima,

de Filipe Esteves Cortes Sálvio,

pela participação na elaboração do manual do professor (ainda em andamento),

Gustavo Rabello dos Anjos,

que nos cedeu o material referente aos princípios do Método da Projeção,

B.5 e de Davi Vaz de Andrade Ferreira,

pelo material referente ao campo hidrodinâmico que se desenvolve entre dois discos rotatórios coaxiais,

5.10.

Os autores agradecem apoio financeiro da agências de fomento CNPq,

CAPES e FAPERJ.

JP agradece também ao Eng◦ Luiz Fernando Bonilauri pelo exame cuidadoso dessas notas,

por suas observações pertinentes e por seu exemplo como pessoa e como profissional.

Agradece em especial ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica,

a quem deve a base de sua formação profissional.

E agradecemos a nossos familiares,

pelo tempo de convívio que nos cederam,

para que pudéssemos nos dedicar aos resultados aqui incluídos e à preparação do texto.

Parte I Fundamentos

Capítulo 1 Introdução 1.1

Objetivos

Esse texto compreende o estudo de três tópicos interrelacionados,

da mecânica dos meios contínuos: 1.

Mecânica dos Fluidos

Transferência de Calor

Transporte de Massa.

A hipótese de meio contínuo é necessária para que possamos fazer uso das noções do cálculo diferencial e integral e definir propriedades de um fluido,

Cabe notar que os elementos do meio considerado devem ser suficientemente pequenos para que suas propriedades se mantenham constantes dentro do mesmo e suficientemente grandes para que os efeitos de descontinuidade da matéria não apareçam.

Como muitos dos mecanismos de transporte de calor e de massa se processam na presença de fluidos,

como é o caso do resfriamento por convecção e dos processos de evaporação,

começaremos o curso abordando a mecânica dos fluidos.

O objetivo da mecânica dos fluidos é determinar o estado de um meio,

esteja ele em movimento ou em repouso.

Para fazê-lo devemos conhecer as variáveis que determinam este estado,

as quais dependem em geral da posição no espaço e do tempo.

Consequentemente,

para conhecermos o estado de um fluido devemos determinar o valor das variáveis que o identificam,

ao longo do tempo e em cada ponto do espaço ocupado pelo fluido.

As variáveis que identificam o estado de um fluido são: 1.

A velocidade em cada ponto,

Usaremos normalmente uma das notações abaixo,

em um sistema de coordenadas cartesiano e ortogonal: ou ou

v = ui+vj+wk v = vx i + vy j + vz k v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 .

Na equações acima i,

j e k são vetores unitários (de comprimento igual a 1) nas direções x,

vetores unitários nas direções de cada um dos eixos de coordenadas.

As variáveis u,

O vetor velocidade também pode ser expresso na seguinte forma: v=

Temos já três incógnitas,

a saber as três componentes da velocidade e necessitamos de três equações que nos permitam determiná-las.

Outra variável de um fluido é a pressão em cada ponto,

que pode ser tratada como uma grandeza escalar.

Representaremos a pressão pela letra p.

Se o fluido for compressível sua densidade ρ será também uma variável a determinar.

A densidade é definida por: ∆m .

ρ = lim

Finalmente,

se a temperatura T do fluido variar,

será também uma das variáveis que definem o estado do fluido.

Em resumo,

a Mecânica dos Fluidos procura determinar as funções: u v w p ρ T

Em problemas envolvendo reação e transporte de espécies químicas procuramos determinar também a concentração de cada espécie no tempo e no espaço.

Princípios de Conservação e Equações Constitutivas

Para resolvermos um problema de mecânica dos fluidos no qual a temperatura varia necessitamos de seis equações de evolução.

Essas equações são obtidas pela aplicação dos seguintes princípios: 1.

Conservação da Massa.

A aplicação deste princípio conduz à Equação da Continuidade

Conservação da Quantidade de Movimento em cada uma das três direções.

Obtém-se três equações.

Um caso de particular importância ocorre quando se aplica o princípio de conservação da quantidade de movimento a um tipo particular de fluido denominado fluido newtoniano,

(3.5)

Conservação da Energia

Equação de estado.

Ao aplicarmos os três princípios de conservação acima,

nos deparamos com o problema de expressarmos as forças agindo sobre uma x partícula de fluido em função do campo de velocidades,

assim como de expressar o fluxo de calor em função do campo de temperaturas.

Trata-se de um problema semelhante ao de F= κ x especificarmos a força agindo sobre uma mola comprimida,

em função do nível de compressão ou de tração a que a mesma é submetida.

No caso de uma mola a força é expressa através da lei de Hook (ver Fig.

1.1).

A lei de Figura 1.1: Força agindo sobre uma mola.

Hook é um exemplo de relação constitutiva,

que consiste de uma hipótese adicional e não,

de um resultado obtido da aplicação de um dos princípios de conservação anteriormente mencionados.

No caso da mecânica dos fluidos não há,

como ocorre no caso de uma mola,

que tende a trazê-la de volta à posição de equilíbrio.

No entanto,

o escorregamento de uma camada de fluido sobre a outra produz uma tensão de cisalhamento entre as camadas,

(1.2).

V=vx(y)i

Consideremos o caso do escoamento de um fluido sobre uma placa plana infinita.

Figura 1.2: Campo de velocidades de um fluido nas proximidades de uma placa plana e tensões de cisalhamento agindo sobre um elemento do mesmo.

τxy −→ Tensão de cisalhamento na direção x,

na face perpendicular à direção y.

Unidades da tensão de cisalhamento τ : [Força] # [τxy ] = " Área

Da mesma forma como ocorre no caso da lei de Hook,

há uma relação constitutiva para τxy : τxy = µ

(1.1) 5

onde µ é a viscosidade dinâmica do fluido e ∂vx /∂y,

um dos componentes do gradiente de velocidade.

Fluidos cuja tensão de cisalhamento é descrita pela eq.

São os mais comumente encontrados nos problemas de engenharia,

embora existam outros tipos de fluidos cuja tensão de cisalhamento se exprime de outras formas em funcão do campo de velocidades 1 .

A relação constitutiva acima será generalizada no capítulo 3.

No caso do fluxo de calor que atravessa um elemento de fluido conforme Fig.

O fluxo de calor é definido como a quantidade de calor que flui por unidade de tempo e de área,

É portanto uma grandeza vetorial,

em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonal,

(1.2)

qy e qz são os fluxos de calor em cada uma das três direções.

Figura 1.3: Fluxo de calor em um elemento de fluido [Calor/tempo] " # [q] = Área

Unidades do fluxo de calor q:

A relação constitutiva que relaciona o fluxo de calor com o campo de temperaturas é da forma: qi = −κ

(Lei de Fourier) onde κ é a Condutividade Térmica do material,

o fluxo de calor e a componente do gradiente de temperaturas na direção xi .

As três componentes do fluxo de calor são : ∂T ∂x ∂T = −κ ∂y ∂T = −κ ∂z

Tratamos de casos em que a condutividade térmica é a mesma nas três direções,

Substituindo-se as expressões acima na Eq.

Exemplos: fluido viscoelástico,

(1.3)

A Eq.

Resumindo o que foi dito até aqui,

as equações que descrevem a evolução do estado de um fluido são obtidas pela aplicação dos princípios de conservação da massa,

da quantidade de movimento e da energia,

suplementadas por relações constitutivas como a que permitem expressar,

as forças de superfície que agem sobre um elemento de fluido em função do campo de velocidades,

o fluxo de calor em função do campo de temperaturas.

A equação de estado de um gás perfeito é outro exemplo de equação constitutiva,

necessário no estudo do escoamento de gases.

Operador Derivada Substancial

Outra noção utilizada no desenvolvimento da mecânica dos fluidos é a do operador Derivada Substancial.

Esse operador,

quando aplicado a uma propriedade de uma partícula de fluido em movimento,

fornece como resultado a derivada total em relação ao tempo da propriedade daquela partícula em movimento.

Consideremos a componente vx da velocidade da partícula de fluido.

Temos que vx = vx (t,

A derivada total de vx em relação ao tempo é dada por: D'vx ∂vx ∂vx dx ∂vx dy ∂vx dz = + + + .

Dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt Observando que dx/dt,

as componentes de velocidade vx ,

re-escrevemos a derivada D'vx /Dt na forma: D'vx ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx = + vx + vy + vz = + v · grad vx Dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ou ainda: $ % ∂ D'vx = + v · grad vx Dt ∂t

Utilizando a notação de índices,

ou tensorial cartesiana (ver apêndice B): 3

D vx ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx

! ∂ = + v1 + v2 + v3 = + vj vx Dt ∂t ∂x1 ∂x